Abschlussprojekt

• Gruppenarbeit mit 2 Personen
• Versionsverwaltung & kollaboratives Arbeiten mit git
• Umsetzen des Projektes, welches wir in diesen Einheiten besprechen werden
• Abgabetermin: 27.02.2026 um 23:55 Uhr

Umfang des Abschlussprojektes

• 35h pro Person * 2 Personen pro Gruppe = 70h pro Gruppe
• 35h pro Person setzt sich aus folgenden Annahmen zusammen:
  • gemeinsame LV: 60UE á 45min = 45h
  • Vor- & Nachbereitung inkl. 15 HÜ: 1,5h pro 2 UE = 45h
  • Kursumfang: 5 ECTS = 125h
  • 125h - 45h - 45h = 35h

Abschlussprojekt

• In den nächsten Folien wird ein Projekt inkl. minimaler Umsetzung/Anforderungen vorgestellt
• Diese minimale Umsetzung entspricht 60% der Gesamtpunkte
• Die restlichen 40% können durch Erweiterungen erreicht werden
• Von diesen max. 100% werden die Minuspunkte der Hausübungen abgezogen

Aufgabenstellung

• Eine Anwendung mit Web-UI (streamlit) soll entwickelt werden
• Die Umsetzung erfolgt in Python mit Objektorientierung
• In der Anwendung können mechanische Strukturen (mit gewissen Einschränkungen) definiert & eine Topologieoptimierung durchgeführt werden

Alternativen zu diesem Projekt werden zum Schluss diskutiert

Topologieoptimierung

• Problemstellung: Mechanische Struktur mit vorgegebenen Lasten & Randbedingungen
• Ziel: Materialverteilung im vorgegebenen Bauraum optimieren
• Optimierungskriterium: Steifigkeit maximieren → Verformung minimieren
  

Topologieoptimierung - MBB Balken*

*Klassisches Beispiel: Messerschmitt–Bölkow–Blohm (MBB) Balken wie hier dargestellt

Modellierung der Struktur

• Massenpunkte verbunden durch lin. el. Federn → Balken
• Jeder Massenpunkt hat 2 Freiheitsgrade
  • Horizontale Verschiebung bzw.
  • Vertikale Verschiebung bzw.
• Kräfte wirken nur an Massenpunkten
• Lager wirken nur an Massenpunkten & verhindern Verschiebungen

Modellierung der Struktur

• Topologieoptimierung durch Entfernen von Massenpunkten → alle daran angeschlossenen Federn werden ebenfalls entfernt

• Optimierungskriterium: Minimierung der Gesamtverformung

  • Federn die wenig verformt werden sind für die Steifigkeit der Struktur weniger relevant → Massenpunkte mit vielen solchen Federn können entfernt werden

• Wir brauchen eine mathematische Beschreibung der Federn um deren Verformung unter Belastung zu berechnen

• Wir brauchen eine effiziente Beschreibung/Datenstruktur für die Vernetzung der Federn zu einem System

Mathematische Beschreibung

• Startpunkt: eine horizontale Feder mit den Enden (, )
  • Verschiebungen bzw.
  • Kraftvektoren bzw.
  • Hooke'sches Gesetz:

• Aus dem Gleichgewicht folgt:
  • &
• In Matrixform:
  

Mathematische Beschreibung

• Was passiert nun, wenn links ein Festlager sitzt?

  • & unbekannt bzw. irrelevant

  • Es folgt das bekannte Hooke'sche Gesetz → Gleichung reduziert sich

  • Alternative Beschreibung:

Mathematische Beschreibung

• Federn in beliebiger Orientierung?
  

• Transformation unserer Steifgkeitsmatrix on zuvor notwendig

• Richtungsvektor der Feder:

• Daraus lässt sich die Transformationsmatrix ableiten

• Für die gedrehte Feder gilt

Mathematische Beschreibung

• Dies lässt sich auch auf die horizontale Feder zurückführen:
  

Mathematische Beschreibung

• Dies lässt sich auch auf die horizontale Feder zurückführen:
  
• Für den Fall mit Festlager links (am Punkt ) folgt daraus:
  
  → selbes Ergebnis wie zuvor → wir können nun beliebige Federorientierungen behandeln

Mathematische Beschreibung

• Systeme aus mehreren, verbunden Federn?

• Jede Feder hat ihre eigene Steifigkeitsmatrix → Für Feder zwischen den Punkten und :
• Gesamtsystem: Kombination aller Einzelmatrizen → globale Steifigkeitsmatrix
• Dies erfolgt durch Superposition → Beiträge der Einzelmatrizen an den jeweiligen Freiheitsgraden aufsummieren
  
  → an den Freiheitsgraden der Punkte und wird die Steifigkeitsmatrix der Feder hinzu addiert

Mathematische Beschreibung

• Nun kann mit der globalen Steifigkeitsmatrix gearbeitet werden:
  → kann nach anbringen der Randbedingungen gelöst werden um zu erhalten
• Somit sind die Verschiebungen aller Massenpunkte bekannt

Beispielimplementierung - solver.py

• Enthält eine minimale Implementierung des reinen Gleichungslösers
• Definiert für einzelne Federn die Steifigkeitsmatrix und löst
• Enthält Assertions um gängige Fehler abzufangen
• Enthält Regularisierung um singuläre Matrizen zu vermeiden

Mathematische Beschreibung

• Topologieoptimierung: Massenpunkte und daran angeschlossene Federn werden entfernt → Berechnung aber immer gleich

• Optimierungskriterium: Minimierung der Gesamtverformung

  • Die Feder zwischen den Punkten und "speichert" die Verformungsenergie:
    
  • Federn mit geringer gespeicherter Energie sind für die Steifigkeit der Struktur weniger relevant → Massenpunkte mit vielen solchen Federn können entfernt werden
  • es werden Punkte entfernt, nicht Federn → die Verformungsenergie einer Feder teilt sich gleichmäßig auf beide Endpunkte auf

Struktur für die Vernetzung

• Folgender Aufbau sollte uns an eine Datenstruktur erinnern:

Elemente der Struktur

• Knoten = Massenpunkt
• Kanten = Feder
• → Graph

Struktur für die Vernetzung

Vorteile der Bescheibung als Graph?

• Effiziente Speicherung inkl. einfügen & löschen von Knoten/Kanten
• Mathematisch eng mit der Linearen Algebra verbunden → viele hilfreiche Operationen

Hilfreiche Operationen von Graphen

• Bestimmen der Inzidenzmatrix → Verknüpfung Knoten & Kanten
• Finden von Pfaden → Struktur auf Stabilität prüfen

Ist es sinnvoll nur eine Datenstruktur zu verwenden oder kann es Vorteile haben mehrere zu kombinieren?

Zusammenfassung

Zusammenfassung

Annahmen & Hilfreiche Ansätze

Annahmen

• Koordinatenursprung befindet sich links oben
  • -Achse zeigt nach rechts, -Achse zeigt nach unten
• Horizontale & vertikale Federn haben
• Diagonale Federn haben
• Alle Massepunkte haben die gleiche Masse

Hilfreiche Ansätze für die Implementierung

• Symmetrische Strukturen können oft nur halb modelliert werden → schneller → Randbedingungen an Symmetrielinie beachten
• Optimierer wählt anhand der Verformungsenergie Punkte zum Entfernen aus → bevor sie entfernt werden können muss überprüft werden:
  • ob die Struktur noch weiterhin aus einem Stück besteht
  • ob alle Lasten noch auf die Lager übertragen werden können
• Sinnvollerweise wird in den ersten Iterationen etwas weniger Material entfernt → Struktur kann sich "setzen"

Minimalanforderungen

• Softwareprojekt in Python mit Objektorientierung
• Versionskontrolle über git & GitHub
• Anwendung mit Web-UI:
  • Möglichkeit zur Durchführung der Topologieoptimierung für (quasi) beliebige 2D-Strukturen
• Software-Dokumentation:
  • requirements.txt-Datei mit allen packages
  • README.md im Repository mit Anleitung zur Installation und Ausführung
• Projekt-Dokumentation - Zwei Möglichkeiten
  • README.md ergänzen um umgesetzten Erweiterungen, UML-Diagrammen der Softwarestruktur, Quellen zu verwendeten Inhalten etc.
  • ODER
  • Kurzer Bericht als pdf-Dokument mit selbem Inhalt

Minimalanforderungen 1/2

• Eine Python-Anwendung mit Web-UI (streamlit) soll entwickelt werden
• Darin kann die Topologieoptimierung beliebiger 2D-Strukturen mit unseren Einschränkungen durchgeführt werden
• Die Ausgangsstruktur soll definiert werden können:
  • Ursprünglicher Bauraum als Rechteck mit Breite & Höhe
  • Randbedingungen (Loslager, Festlager) an Massepunkten
  • Externe Kräfte an Massepunkten
• Visualisierung der Struktur vor, während & nach der Optimierung inkl. der Verformung
• Die Struktur inkl. Randbedingungen, etc. kann zu jedem Zeitpunkt gespeichert und wieder geladen werden → Fortsetzung der Optimierung möglich
• Lösung des Problems erfolgt in gedanklicher Anlehnung an die Finite Elemente Methode (FEM) → so wie oben vereinfacht beschrieben
• Es muss verifiziert werden, die Struktur nicht "auseinander fällt" durch die Optimierung

Minimalanforderungen 2/2

• Testen der Implementierung am Beispiel des Messerschmitt–Bölkow–Blohm (MBB) Balken → in Dokumentation zeigen
• Die optimierte Geometrie kann als Bild heruntergeladen werden
• Die Anwendung soll mit streamlit deployed werden

Mögliche Erweiterungen

• Hochladen eines Bildes (z.B. png, jpg, etc.) → Schwarze Pixel = Material, weiße Pixel = kein Material
• Zeichnen der Struktur im UI (z.B. mit streamlit-drawable-canvas o.ä.)
• Definition einer Auszeichnungssprache um Strukturen & Randbedingungen zu beschreiben → Kann heruntergeladen und ggf. hochgeladen werden
• Visualisierung des Optimierungskriteriums als Heatmap → welche Massenpunkte sollten (nicht) entfernt werden
• Unterschiedliche Algorithmen zur Topologieoptimierung implementieren → Vergleich der Ergebnisse
• Erweiterung auf 3D-Strukturen → quaderförmiger Bauraum
• Animation als Video/gif speichern
• Export als CAD-Datei (z.B. stl, etc.) für den 3D-Druck → mittels Umwandlung in Vektorgrafik & OpenSCAD
• Optimieren nach anderen Kriterien

Mögliche Erweiterungen

• Alternative Ansätze im UI
• Erstellen eines finalen Reports mit resultierender Masse, Steifigkeit, max. Verformung etc. der optimierten Struktur
• Visualisierung von interessanten Größen über die Iterationen
• Visualisierung von Lastpfaden
• Berücksichtigung von Fertigungsbeschränkungen → Featuregrößen, etc.
• Komplexe Erweiterung: Dynamik berücksichtigen → Eigenfrequenzen als Optimierungskriterium einbauen

Abgabe

• Abgabetermin: 27.02.2026 um 23:55 Uhr
• Alle Gruppenmitglieder müssen den Link zum Repository auf Sakai abgeben
• Der Beitrag der einzelnen Mitglieder wird anhand ihrer Commits beurteilt → jedes Mitglied soll aktiv und inhaltvoll am Projekt mitarbeiten
• Es wird der Stand des letzten Commits im main bzw. master-Branch, der vor der Deadline stattgefunden hat, bewertet

Alternatives Abschlussprojekt

• Falls die Aufgabenstellung einer Gruppe nicht zusagt, kann ein alternatives Abschlussprojekt mit dem jeweiligen Vortragenden vereinbart werden
• In der ersten Hälfte des letzten Termins der LV muss diese Aufgabenstellung mit dem Vortragenden vereinbart werden → anschließend wird sie mit dem Vortragenden der anderen Gruppe abgestimmt

Was muss vereinbart werden?

• Idee des eigenen Projektes
• Minimalanforderungen → Programmiersprache, Versionsverwaltung, Dokumentation, etc. bleibt immer gleich
• Mögliche Erweiterungen
• Diese sind dann verbindlich für die jeweilige Gruppe → es kann aber immer auf das allgemeine Projekt zurück gewechselt werden